【マルコフ連鎖】翌日配送が翌々日配送になると在庫は何台必要か？
某物流センターでは自動梱包機を２台レンタルしています。
この国では電源電圧が安定していないため、１日あたり２５％の確率で故障します。
今までは、故障したら次の日の朝までにレンタル会社が代替機を届けてくれるため、朝の時点では常に２台が稼働できる状態にありました。
ところが、レンタル会社の経営者が代わり、代替機の手配は翌日配送から翌々日配送に方針変更になりました。
このままでは当然、朝の時点で常に２台揃えておくことはできないため、代替機を何台か物流センターに在庫しておく必要があります。
何台在庫しておけば安心でしょうか？
マルコフ連鎖に当てはめてみる
物流センターには２台の自動梱包機がありますが、毎日朝の時点で準備されている台数を状態とします。
すると、故障してもレンタル会社が翌日の朝までに代替機を配送してくれるのなら、状態は常に２台になります。
しかし、レンタル会社が翌々日配送に切り替えると、状態は０台、１台、２台の３通りになります。
またこの場合、今朝２台稼働していたら、それぞれが２５％の確率で故障するので、その日のうちに１台壊れて明日の朝に１台しかなくなる確率は１／４です。
もっと運が悪く、２台とも壊れて明日の朝には１台も稼働していない状態にある確率も
１／４×１／４＝１／１６
あります。
同じように、今朝１台稼働していて明朝０台になる確率や、今朝０台で明朝２台になる確率なども一様に決まるため、今朝の各状態から明朝の各状態に遷移する確率はすべて分かります。
しかも、明朝の台数は今朝の台数だけに依存していて、昨日までの台数は無関係です。
そのため、この問題はマルコフ連鎖で分析することができます。
【マルコフ連鎖と遷移確率行列】５年後に太ってしまう確率は何％？
遷移確率行列を求める
それではまず各状態から各状態への遷移確率をすべて求めてみましょう。
状態は０、１、２の３つしかありませんから、
０⇒０、０⇒１、０⇒２、１⇒０、１⇒１、１⇒２、２⇒０、２⇒１、２⇒２
の９通りの遷移確率があります。
まずは今朝に０台、明朝も０台になる遷移確率（０⇒０）を考えてみましょう。
今朝０台ということは、（あってはならないことですが）２台とも故障して代替機待ちということです。
この２台が故障したのはいつでしょうか？
１日前か２日前と思いますね。
でも２日前というのはありえないのです。
なぜなら、２日前に故障していたら今朝には代替機が届いているはずなので、今朝０台ということはありえません。
ですので、２台が故障したのは１日前です。
すると、これらの代替機は明朝に両方とも配送されるはずなので、明朝は絶対に２台あることになります。
従って、今朝０台で明朝も０台（０⇒０）の確率はゼロです。
また今朝０台なら明朝には絶対に２台になるので、０⇒１の確率もゼロで、０⇒２の確率は１になります。
次に１⇒０の確率を考えてみましょう。
今朝１台しかないということは、昨日１台故障したということですね。
なぜならこの１台が２日前に故障していたら、今朝には代替機が配送されているので、今朝は２台ないとおかしいからです。
そして昨日故障した１台の代替機は、明朝には絶対に配送されます。
従って、明朝も０台ということはありえない、つまり１⇒０の確率はゼロです。
では１⇒１の確率はどうでしょうか？
昨日故障した１台の代替機は絶対に明日には配送されますが、今朝稼働しているもう１台が今日中に故障する可能性もあります。
そうなる確率は１／４ですので、１⇒１の確率は１／４です。
では１⇒２の確率はどうでしょうか？
こうなるのは今朝稼働していた１台が今日も元気に稼働する場合ですね。
そうなる確率は３／４ですので、１⇒２の確率は３／４になります。
次に２⇒０の確率を考えてみましょう。
今朝２台あって明朝０台になるということは、今日中に２台とも故障するということですね。
そうなる確率は１／４×１／４＝１／１６です。
では２⇒１の確率はどうでしょうか？
そうなるのは今朝稼働している２台のうちどちらか１台が故障して、もう１台が故障しない確率なので、
１／４×３／４＋３／４×１／４＝６／１６
です。
最後に２⇒２の確率です。
これは今朝稼働していた２台が２台とも今日中に故障しない確率なので、３／４×３／４＝９／１６です。
これですべての遷移確率が求まりました。
遷移確率行列でまとめて書くと、次のようになります。
この例の場合、時間ステップは日ですので、上図でｔは今日、ｔ＋１は明日という意味です。
１週間後の遷移確率を求める
遷移確率行列Ｐは１時間ステップ後の遷移確率を表しますが、ｎ時間ステップ後の遷移確率はＰｎになることを
【マルコフ連鎖と遷移確率行列】５年後に太ってしまう確率は何％？
で示しました。
ですので、先ほど求めた遷移確率行列をＰとすれば、１週間後の遷移確率行列はＰ７になります。
Ｐの７乗はExcelを使って次のように計算できます。
Ｐの７乗の（２，２）成分は０.６４になりました。
従って、今日２台稼働しているとしたら、１週間後も２台稼働している確率は６４％ということです。
ここで、一つ気づくことがありますね。
計算結果をよく見ると、Ｐの６乗も７乗も同じ値になっています。
更によく見ると、Ｐの５乗もほぼ同じ値ですね。
このことからＰの無限大乗まで計算しても、値は変わらないと推測できます。
つまり、この遷移確率行列はある程度の日数が経過した後の定常状態を表していると考えることができます。
従って、この翌々日配送を続けていれば、常に２台稼働を保てる可能性は６４％しかないことになります。
またＰの７乗の結果から１台稼働になる確率は３２％、０台稼働になる確率は４％ですから、在庫を１台持っておけば９６％、２台持っておけば１００％の確率で、常に２台稼働できる状態を保てるということが分かります。
最後に
この例では遷移確率行列の階乗を大きくしていくことにより定常状態が得られましたが、常にこうなるわけではありません。
いつまで経っても定常状態に収束しない遷移確率行列もあります。
その条件は何か？
定常状態をもっと簡単に求める方法は？
それがこちらです↓
マルコフ連鎖が不変分布に収束するための条件を図でわかりやすく解説