【ルーレットの赤黒ベットで勝てる確率は？】理論値をマルコフ連鎖で計算
ルーレットの赤黒ベットは当たる確率がほぼ５０％です。
Aさんは１枚のチップが２０ドルのカジノで１００ドル分、つまり５枚のチップを購入しました。
Aさんはルーレットの赤黒ベットでチップを毎回１枚ずつ賭け、２００ドル、つまりチップが１０枚になったら現金化して利益を確定するつもりです。
この時、Aさんが予定通り２００ドルを得られる確率は何％でしょうか？
ルーレットの赤黒ベットとは？
ルーレットには赤または黒色で塗られた１から３６までの数字の他に、緑色で塗られた０と００があり、玉が落ちる場所が合計で３８か所あります。
これはアメリカンルーレットと呼ばれます。
これとは別にヨーロピアンルーレットと呼ばれる００がないタイプのルーレットもあります。
今回はアメリカンルーレットとして話しを進めます。
１から３６までの数は赤もしくは黒色ですが、赤色も黒色も１８個の数字があります。
赤黒ベットとはプレーヤーは赤もしくは黒に賭けるので当たる確率は５０％に思えますが、緑色の０と００が曲者で、プレーヤーはここには賭けられません。
従って当たる確率は
１８÷３８＝０.４７４
と５０％より少し低い確率になります。
逆に外れる確率は
２０÷３８＝０.５２６
と５０％より少し高い確率になります。
ルーレットで勝てる確率をマルコフ連鎖で計算
状態遷移図を描く
手持ちのチップの枚数を状態とすると、状態遷移図は次のように書くことができます。
気を付けるべきは０と１０です。
まず手元に１枚しかチップがない場合を考えてみましょう。
この場合、外れると０枚になります。
外れる確率は５２.６％なので１から０に遷移する確率は５２.６％で、０に遷移したら破産でゲーム終了なのでどこにも遷移しません。
つまり０から０に遷移する確率は１００％です。
また、手元に９枚のチップがある場合には当たると１０枚になります。
当たる確率は４７.４％なので９から１０に遷移する確率は４７.４％で、１０に遷移したら利益を確定させてゲーム終了なのでどこにも移動しません。
つまり１０から１０に遷移する確率は１００％です。
このように次にどこにも遷移しない状態を吸収状態（absorbing state）といいましたね。
またその他の状態、すなわち１から９の状態は吸収状態に遷移する可能性があるため、すべて一時的（transient）です。
従って、このマルコフ連鎖は吸収マルコフ連鎖（Absorbing Markov Chain）です。
遷移確率行列を書く
次に、このマルコフ連鎖の遷移確率行列を書いてみましょう。
今の状態を縦軸（行）に、次の状態を横軸（列）に書いて、その交点に遷移確率を書くと次のようになります。
吸収マルコフ連鎖に定式化する
次にこの遷移確率行列を吸収マルコフ連鎖の定理が使えるように並び順を変えます。
そのためには一時的な状態（Transient states）を先に、吸収状態（Absorbing states）を後に書きます。
そして、行／列ともに「一時的な状態」と「吸収状態」で区切って、４つの部分行列に分けます。
これで部分行列Q、R、Iができたので、
（Ⅰ－Q）－１R
を計算すれば、その行列の（ｉ，ｊ）成分が「一時的な状態」ｉから「吸収状態」ｊへ遷移する確率になります。
100ドルを200ドルに増やせる確率の理論値
この定理を使って、Aさんが２００ドルを得られる確率はどのように求められるのでしょうか？
Aさんの元手は１００ドル、つまりチップ５枚なので、最初の状態ｉは５です。
知りたいのは、そこから２００ドルに増える確率、つまりチップが１０枚になる確率なので、遷移先の状態ｊは１０ですね。
そしてこのｊ＝１０の状態は、この先どこにも遷移しない吸収状態です。
一方、
（Ⅰ－Q）－１R
を計算すると各行列成分は次のようになります。
知りたいのは５の状態から１０の状態に遷移する確率ですから、この赤色で囲んだ成分の値です。
Excelで（Ⅰ－Q）－１Rを計算すると次のようになります。
横に長くなるので２つに分けて書きます。
これで求まりました。
手持ち資金１００ドルでルーレットの赤黒ベットをして２００ドルまで増やせる確率は３７％です。
３回に２回くらいは元手の１００ドルをすべて擦ってしまうということです。
100ドルを400ドルに増やせる確率の理論値
ここからは応用問題です。
Aさんが欲張って４００ドルに増えるまで賭け続ける場合の成功率はどれくらいでしょうか？
その場合は次のように計算できます。
行列が大きくなって更に横に長くなるので、４つに分割します。
これで求まりました。
手持ち資金１００ドルでルーレットの赤黒ベットをして４００ドルまで増やせる確率は１０％未満しかありません。
大きく稼ぎたい人は、軍資金を多く用意しましょうということです。
シミュレーションでも検証できる
「本当にその確率になるの？」
と疑い深い人のためにPythonを使ってシミュレーションしました。
興味のある方は読んでみて下さい。
ベット額の大小によりルーレットで勝ち逃げできる確率は変わってくるのか？