【相関なし／あり】二変量正規分布の3Dグラフをエクセルで作成する方法を実演
釣鐘状の正規分布のグラフは有名ですが、これは一変量の正規分布です。
これは多変量に拡張できます。
でもイメージしにくいですね。
そこで、視覚的にイメージし易いように二変量の正規分布の3Dグラフをエクセルで作成してみましょう。
相関がない二変量正規分布グラフの描き方
相関がない二変量の例
まず始めに、二変量の間に相関関係がないケースを想定します。
相関関係がないことは、独立であるともいいます。
どういう場合かというと、ガソリンの値段とコーラの値段は独立といえます。
ガソリンの小売価格は世界の原油価格に連動しますが、コーラの小売価格は連動しません。
極端なオイルショックになれば少しはコーラの値段も上がるかもしれませんが、ほぼ独立であるといえます。
対して、ガソリンスタンドAとガソリンスタンドBのガソリン価格は連動します。
それもかなり高い相関で、相関係数は1に近くなるでしょう。
２つの正規分布を掛け算する
相関がない（もしくは無視できる）二変量の正規分布は簡単です。
2つの一変量正規分布を掛け算するだけです。
一変量正規分布は次のように書けました。
f(x)=1/SQRT(2πσ2)・exp{-(x-μ)2/2σ2}
従って、xとyの二変量の正規分布は次式で表すことができます。
f(x)・f(y)
=1/SQRT(2πσx2)・exp{-(x-μx)2/2σx2}・1/SQRT(2πσy2)・exp{-(y-μy)2/2σy2}
=1/2πσxσy・exp{-(x-μx)2/2σx2 -(y-μy)2/2σy2}
掛け算の結果を二次元の表に書き込む
これをグラフにするにはどうすれば良いでしょうか？
まずはシート上にデータを入力しないといけませんね。
おさらいのために、一変量の正規分布を描いてみましょう。
このようにします。
まずは、エクセルシートにxとそれに対応するf(x)の表を作成します。
xはグラフの裾野まで描けるように、十分な範囲を取ります。
例えば平均＝0、標準偏差＝1の標準正規分布でしたら、xの範囲を-3から+3まで取っておけば99.7%のデータを網羅できます。
平均±標準偏差3個分の範囲には99.7%のデータが含まれるからです。
>> 【標準偏差の気持ち】標準正規分布表の使い方をわかりやすい言葉で徹底解説
次のようにxとf(x)を入力します。
エクセルで正規分布を発生させる関数NORM.DISTを使っています。
図ではx＝-2.2までしか書いていませんが、x＝3まで書きます。
そしてf(x)の折れ線グラフを描くと、次のような正規分布のグラフが出来上がります。
これを二変量に拡張するには、横軸にx、縦軸にyを取ります。
そして、x=aとy=bに対応するf(a,b)を、その交点に入力していきます。
試しに、二変量が
xの平均＝0、xの標準偏差＝1
yの平均＝0.3、yの標準偏差＝0.8
である場合の正規分布の表を作成してみましょう。
次のように入力します。
先述したように
f(x,y)
=f(x)・f(y)
=1/2πσxσy・exp{-(x-μx)2/2σx2 -(y-μy)2/2σy2}
ですので、この式に基づいてそれぞれのセルに入力してもいいのですが、NORM.DIST関数の掛け算を使う方が簡単です。
絶対参照$を付ける位置を間違わなければ、それほど難しくはないと思います。
3D等高線でグラフにする
この表を作成し終わったら、表を選択してグラフメニューの中から3D等高線を選択してみましょう。
すると、次のような可愛い形のグラフが出来上がります。
これだとx軸、y軸の目盛りがよく分かりませんので、グラフメニューの中から等高線を選んでみます。
すると、このようにx、yの値が分かりやすくなります。
xは0を中心として大きく広がり、yは0.8を中心として小さく広がっていることが分かります。
相関がある二変量正規分布グラフの描き方
相関関係を表す項を追加する
次に、xとyの間に相関関係がある場合の二変量正規分布を描いてみましょう。
この場合の式は次のようになります。
相関がない場合と比較すると、赤で囲んだ部分が追加されています。
ρはxとyの相関係数です。
つまり、相関関係を表す項が追加されているのです。
二次元の表に書き込む
それでは、この式に基づいてエクセルのシートにx、y、f(x,y)の対応表を入力してみましょう。
次のようになります。
式は長くなりますが、絶対参照$を付ける位置に注意しながら入力していけばできると思います。
3D等高線でグラフにする
表を作成し終わったら、先ほどのように3D等高線と等高線のグラフを作成してみましょう。
次のようになるはずです。
3D等高線のグラフ
等高線のグラフ
相関係数が0.7と比較的大きいために、楕円がx=yの角度で傾いています。
試しに相関係数を0.9にしてみましょう。
このようになります。
益々ひねくれたグラフになりましたね。
それと同時に、xとyのデータが入る範囲が、x=yのグラフ近くに寄っていくことも分かります。
面白い性質：どの直線で切っても一次元の正規分布になる
また、二変量の正規分布のグラフには面白い性質があります。
下図のように、y=-2で切った断面のデータ分布を見てみましょう。
表でいうと、下記で選択した部分のデータ分布を見ていることになります。
このデータ分布をグラフにすると、次のようにきれいな正規分布になります。
これは3次元のグラフをどこで切っても同じです。
下図のように斜めに切った断面でも、1次元の正規分布になります。
興味のある方は、試してみて下さい。