【指数分布の応用】確率１％の賭けを１００回繰り返して勝つ確率は？
コインを２回投げて表が出る確率は？
１回投げて表が出る確率は1/2ですね。
だからと言って、２回投げれば必ず表が出るとも限りません。
難しいですね。
当選確率1,000万分の1の宝くじを1,000万枚買った人が当選する確率は？
宝くじは還元率の悪い賭けなので、このような買い方をして必ず当選するとしても元は取れません。
でもどれくらい当選する確率があるのか知りたいですね。
年間365回起こる事故が1日目に起こる確率は？
事故は均等に起こるわけではなく、1日に3度起こる日もあれば、一度も起こらない日もあります。
ですので、最初の日には無事故かもしれません。
起きる確率は何％か？
これも難しいですね。
実はこれらの確率はすべて６３％になります。
不思議ですね。
これは指数分布を使えば導けます。
まずは指数分布の復習から入りましょう。
指数分布の確率密度を求める公式
１日にλ回起こる事象が１日目で最初に起こる確率、２日目で最初に起こる確率、、、をまとめたものが指数分布です。
サイクルの単位は日でも週でも年でも時間でも回数でも構いません。
つまり、１回当たりにλ度起こる事象が１回目で最初に起こる確率、２回目で最初に起こる確率、、、も同じく指数分布に従います。
そしてx回目に最初に起こる確率は
f(x) = λe–λx
ｘ：サイクル数
λ：サイクル内で事象が起こる平均回数
で計算できます。
これが指数分布の確率密度を求める公式になります。
指数分布の累積分布を求める公式
次にｘ回目までに起こる確率はどうやって求めればよいでしょうか？
１回目で最初に起こる確率＋２回目で最初に起こる確率＋、、、＋ｘ回目で最初に起こる確率
で求められますね。
これは先程の指数分布の確率密度の累積和、つまり積分です。
従って、次のように計算できます。
これが指数分布の累積分布を求める公式です。
コインを２回投げて表が出る確率
これを使って、２回コインを投げた時に最低１度は表が出る確率を求めてみましょう。
イカサマコインでなければ表が出る確率は２回に１回ですので、１回投げれば０.５回表が出るはずです。
つまり、この場合λ＝０.５です。
これを指数分布の累積分布を求める公式に当てはめると、
F(x) = 1 – e–λx
= 1 – e-0.5x
になります。
２回目までに表が出る確率を求めたいので、ｘに２を代入して
F(2) = 1 – e-0.5×2
= 0.632121
になります。
つまり、コインを２回投げて表が出る確率は６３％です。
当選確率1,000万分の1の宝くじを1,000万枚買った人が当選する確率
この場合、宝くじを１回買って当たる確率は1,000万分の1なので、λ＝1/10,000,000です。
これを1,000万回買って最低１回は当たる確率なので、x=10,000,000です。
公式に当てはめると、
F(10,000,000) = 1 – e-(1/10,000,000)×10,000,000
= 0.632121
となります。
これも６３％になりましたね。
年間365回起こる事故が1日目に起こる確率
１年で３６５回なのでλ＝365、１日は1/365年なのでx=1/365になります。
公式に当てはめると、
F(1/365) = 1 – e-365×(1/365)
= 0.632121
です。
これも６３％になりました。
これは別の考え方もできます。
１年で３６５回起こるということは、１日に１回起こることと同じです。
従って、単位を日に変えるとλ＝１、ｘ＝１と考えることができます。
公式に当てはめると、
F(1) = 1 – e-1×1
= 0.632121
となり、同じく６３％になります。
確率の逆数回試すといつも６３％
このように計算してみると、あることに気づきますね。
いずれも計算式が1 – e-1になっていることです。
なぜ皆この式になるのでしょうか？
λは１サイクル内に起こる平均回数です。
この平均回数は１より小さければ、起こる確率と考えることができます。
コイン投げでは、１回のうち表が出る平均回数は０.５回なので、確率と同じですね。
宝くじも同じことです。
λは当選する確率のことです。
３つ目の例では１年に３６５回なのでλ＝３６５は確率とは言えませんが、考え方は同じなので広義の意味で確率と考えましょう。
次にｘを見てみます。
コイン投げの例では２回投げるのでｘ＝２です。
これは表が出る確率０.５の逆数です。
宝くじの例でも1,000万回買うのでx=10,000,000ですが、これも当選する確率の逆数です。
最後の例でもx=1/365、これはλ＝365の逆数です。
つまり、すべて次の計算をしていることになります。
すべてλｘ＝１となるために、1 – e-1を計算していることになるのです。
「下手な鉄砲も数打ちゃ当たる」とは、確率が低いことでも何度も繰り返せばまぐれで当たることもあるということですね。
この諺は「まぐれ」というところがポイントです。
確率１％なら１００回やれば１度は当たるだろうと思ってしまいますが、そうなる確率は６３％、つまり３回に１回は失敗するのです。