ベルヌーイ分布／二項分布／カテゴリ分布／多項分布の関係をまとめてみた。
ベルヌーイ分布／二項分布／カテゴリ分布／多項分布は親戚関係
離散型確率分布の中でも有名な二項分布と多項分布については、本サイトでも具体的な使い方を解説してきました。
【千葉ロッテ荻野で学ぶ】二項分布で打率から安打数を予測できるか試してみた
多項分布の計算式と使い方を具体例を使ってわかりやすく解説します。
この他に二項分布に似た分布としてベルヌーイ分布、多項分布に似た分布としてカテゴリ分布もよく目にします。
実はこれら４つの確率分布は、多項分布を進化の頂点とする同じ系統に属します。
多項分布さえ理解すれば、後の３つはそれを簡単にしたものです。
そこで、多項分布からカテゴリ分布、二項分布、ベルヌーイ分布と遡って、それらがどういう関係にあるのかを明らかにしていきます。
多項分布は多数回試行＆多状態
これはサイコロを複数回振った時に、どういう確率でどの目が出るかを予測する式だと考えると分かりやすいです。
複数回ですから、一番簡単な２回で考えましょう。
２回サイコロを振って、１が２回続けて出る確率を求めます。
多項分布の関数式は次式でした。
状態1、2、…、k をとる確率が p1 、p2 、…、pk のとき ( p1＋p2＋…＋pk＝1 ) 、N 回の試行で各状態を ni回 ( n1＋n2＋…＋nk＝N ) とる確率は次式で表されます。
N!/n1! … nk! (p1n1 … pk nk)
>> 【具体例でわかりやすく！】多項分布は何に使えるの？｜バイト確保人数の予測で実演
今回の例に当てはめると、次のようになります。
出目1、2、…、6 をとる確率が 1/6、1/6 、…、1/6のとき ( 1/6＋1/6＋…＋1/6＝1 ) 、2 回振って1が2回 出る確率は次式で表されます。（N=2、k=1）
2!/2! (1/62) = 1/36
もう一問やってみましょう。
２回サイコロを振って、１が１回、２が１回出る確率はいくつになるでしょうか？
今度は状態が１と２の２つになるので、k＝２になります。
２回振るのでN＝２であることは変わりません。
式に当てはめると次のようになります。
2! (1/1!)(1/6) (1/1!)(1/6) = 1/18
２回連続で１が出る確率に比べて、２倍の確率になりました。
これは１が１回、２が１回出るパターンが、最初に１が出て次に２が出るパターンと、最初に２が出て次に１が出るパターンの２通りあるからです。
どちらかが起こる確率なので、２倍になるのです。
カテゴリ分布は１回試行＆多状態
多項分布において、N=1とした特殊ケースがカテゴリ分布です。
多項分布ではN回試行しますので、kN通りの状態ができます。
サイコロの場合だとk=6なので、１回振れば６通り、２回振れば３６通り、３回振れば２１６通りの状態ができますね。
それぞれの状態における確率を計算するのが多項分布です。
カテゴリ分布は１回だけ試行する場合にしか使えません。
ですので、サイコロの場合だと１回振って１が出る確率、２が出る確率、、、６が出る確率を求めます。
そんなのイカサマコインでない限り１／６ずつに決まってますね。
だからカテゴリ分布はあまり利用価値がありませんが、多項分布の式にN=1を代入することにより次のような式で表されます。
1!/1! … 1! (p1n1 … pk nk)
= p1n1 … pk nk
二項分布は多数回試行＆２状態
カテゴリ分布では多項分布の式でN=1としましたが、二項分布ではk=2とします。
kは状態の数ですので、２つの状態しか取らないということです。
言い換えると、Yes／Noや当たり／外れや表／裏のような二者択一の状態しか扱いません。
分かりやすい例で言うと、コインをN回投げて１回だけ表が出る確率は？２回だけ表が出る確率は？、、、N回全部表が出る確率は？を計算するのが二項分布の式です。
それでは多項分布の式にk=2を代入してみましょう。
N!/n1! n2! (p1n1 p2 n2)
= N!/n1! (N- n1)! (p1n1 p2 (N-n1))
= NCn1 p1n1 p2 (N-n1)
= NCn p1n (1-p1) (N-n)
= NCn pn (1-p) (N-n)
ここで、NCnはN個の中からn個を選ぶ組み合わせの数で
NCn = N!/n!(N-n)!
で計算できます。
「順列」と「組み合わせ」の具体例と計算方法をわかりやすく解説
試しにコインを１０回投げて１回しか表が出ない確率を求めてみましょう。
10C1 (1/2)1 (1-1/2) (10-1)
= 10!/1!(10-1)! (1/2)1 (1/2) 9
= 10 (1/2)10
= 0.0098
約１％の確率と計算できました。
尚、二項分布はNが大きくなると正規分布に近似できます。
【二項分布が正規分布で近似できるのはなぜ？】簡単な証明方法と応用事例
ベルヌーイ分布は１回試行＆２状態
ベルヌーイ分布ではカテゴリ分布で固定したN=1と、二項分布で固定したk=2の両方を固定します。
つまり多項分布の式において、N=1とk=2を代入するとベルヌーイ分布の式になります。
1!/1! 1! (p1n1 p2 n2)
= p1n1 p2 (1-n1)
= pn (1-p) (1-n)
１回の試行で、しかも二者択一の状態しかないので、このようにとても簡単な式になります。
例えばコインを１回投げて表が出る確率は、p=1/2、n=1とすれば良いので、
(1/2)1 (1-1/2) (1-1)
= 1/2
です。
逆に１回コインを投げて裏が出る確率は、p=1/2、n=0とすれば良いので、
(1/2)0 (1-1/2) (1-0)
= 1/2
です。
計算するまでもない当たり前の結果なので、カテゴリ分布同様に利用価値はあまりありません。
４つの確率分布の関係のまとめ
以上をまとめると次のようになります。
二者択一の単独試行しかできないベルヌーイ分布から、多試行もできるように進化して二項分布になります。
一方、同じベルヌーイ分布から多次元もできるように進化してカテゴリ分布になります。
そして二項分布から多次元に進化し、カテゴリ分布からは多試行に進化して、遂に万能の多項分布が生まれたのです。