ベイズ推定で未知の確率を推定しながらディシジョンツリー分析する方法
予想が的中する確率には２通りある
プロ野球のシーズンが開幕する直前の３月下旬には、多くの解説者による様々な優勝チーム予想が出回ります。
多くは外れますが、誰の予想が一番当たるのでしょうか？
管理人は元千葉ロッテ里崎の予想が一番当たると思っているのですが、同意してくれる人は少ないでしょう。
この場合の確率には２通りあります。
- 里崎が「今年はロッテ優勝！」と言って本当にロッテが優勝する確率
- シーズンが終わってロッテが優勝した時に、シーズン前に里崎が「今年はロッテ優勝！」と言っていた確率
です。
この２つの確率は異なります。
例えば、里崎は自分の出身チームであるロッテに強い思い入れがあるため、かなりの高確率で「今年はロッテ優勝！」と言います。
でも、そのシーズンのオリックスの戦力が飛びぬけて高いと思えば、さすがの里崎も「今年の優勝はオリックス！」と予想するでしょう。
ところがそのシーズンに限ってロッテが奇跡的に優勝するかもしれません。
ここで過去１０年間で２回ロッテが優勝し、そのうちの１回は順当に（里崎は予想していた）、もう１回は奇跡の優勝（里崎は予想していなかった）だったとします。
すると上記２の確率は１／２になりますね。
ロッテの２回の優勝のうち、里崎予想が的中したのは１回だけですので。
一方で上記１の確率は、里崎が１０年間のうちで９回も「ロッテ優勝！」と予想していたとすると１／９ですね。
このように予想が的中する確率と言う時には２通りの確率があり、これらは本質的に異なります。
ベイズ推定とは？
ベイズ推定とは、２の確率から１の確率を推定する手法です。
ここで話しを簡単にするため、パ・リーグにはロッテとオリックスの２チームしかないとします。
すると、里崎がロッテ優勝を予想して、その通りにロッテが優勝する確率は、
で計算できます。
このように、ロッテ／オリックスがそれぞれ優勝する確率は分かっている必要がありますが、２の確率から１の確率を計算することができます。
別の言い方では、「逆確率」を求めるとも言います。
なぜこのように計算できるのかについては下記の記事で解説しています。
「ベイズの定理」の導出とその適用例をわかりやすく解説【初心者向け】
エッセンスだけをまとめると次のようになります。
P(A|B)=P(A⋂B)/P(B) ⇒ P(A⋂B)=P(A|B)P(B)
P(B|A)=P(B⋂A)/P(A) ⇒ P(B⋂A)=P(B|A)P(A)
∴P(A⋂B)= P(B⋂A)=P(B|A)P(A) =P(A|B)P(B)
更に、
ののように、全体集合Wが互いに排他な集合Aと集合Bとで成り立っている時、
W=A+B=W⋂A+W⋂B
P(W)=P(W⋂A)+P(W⋂B)
=P(W|A)P(A)+P(W|B)P(B)
ベイズ推定が必要なディシジョンツリー分析の事例
問題設定
某FMCGメーカーはESGの観点から、ある区間のトラック輸送を鉄道輸送に切り替えることを検討しています。
大まかな傾向としては、原油価格が安いとトラック輸送の方が安く、原油高になれば鉄道輸送の方が安くなります。
輸送料金が安くなれば、会社としての利益は増えます。
具体的には次のことが分かっています。
トラック輸送＆原油安 ⇒ 利益１０億円
トラック輸送＆原油高 ⇒ 利益４億円
鉄道輸送＆原油安 ⇒ 利益８億円
鉄道輸送＆原油高 ⇒ 利益６億円
また、過去２０年間には原油安の年が６０％、原油高の年は４０％ありました。
そして、ここに国際原油マーケットに詳しい腕利きのアナリストがいます。
このアナリストは、原油安の年には９０％の確率で、また原油高の年には８０％の確率で予想を的中させることが分かっていますが、このアナリストに依頼するには８千万円のコストがかかります。
このFMCGメーカーはトラック輸送にするか鉄道輸送にするかを決めるのに、原油アナリストに相場予想を聞くべきでしょうか？
ディシジョンツリーを描く
この問題をディシジョンツリーに描くと、次のようになります。
例えば一番右上の計算は、トラック輸送を選択して原油高になったので４億円の利益、しかし原油アナリストに頼んで０.８億円のコストがかかっているため、合計では４億円－０.８億円の利益となります。
可能性ノードの確率を計算する
ディシジョンツリー分析では決定者にとってアンコントローラブルな事象の分岐を可能性ノードで表しますが、この例では７つあります。
それぞれの分岐の確率を確率論の表記で書くと、次のようになります。（青字）
それぞれの確率はいくつになるでしょうか？
問題設定から分かる確率は次の通りです。
その年が原油安になる確率は６０％で、原油高になる確率は４０％なので、原油安になる事象をL、原油高になる事象をHで表すと、
P(L)=60%
P(H)=40%
になります。
また、原油アナリストは原油安の年には９０％の確率で、原油高の年には８０％の確率で予想を的中させていることが分かっているので、原油アナリストが原油安と予想する事象をAL、原油高と予想する事象をAHで表すと、
P(AL|L)=90%
P(AH|H)=80%
という条件付き確率で表すことができます。
また原油安の年に９０％の確率で原油安と予想するということは、１０％の確率で原油高と予想（つまり予想を外す）確率は１０％となるため、
P(AH|L)=10%
ということも分かっています。
同様に、
P(AL|H)=20%
ということも分かっています。
ところが、先のディシジョンツリーに青字で書いた確率は、すべてこれらとは異なります。
例えば、一番右上の確率はP(H|AH)ですね。
P(AH|H)=80%ということは分かっていますが、P(H|AH)は分かりませんね。
同様に①から④までの可能性ノードの分岐確率はすべて未知ですが、それらの逆確率は分かっているわけです。
従って、これらはすべてベイズ推定を使って求められます。
それではまずP(H|AH)を計算してみましょう。
P(H|AH)=P(H⋂AH)/P(AH)
ここで、
P(H⋂AH)=P(AH|H)P(H)=0.8×0.4=0.32
P(AH)=P(AH⋂H)+P(AH⋂L)
=P(AH|H)P(H)+P(AH|L)P(L)
=0.8×0.4+0.1×0.6
=0.38
よって、
P(H|AH)=0.32/0.38=0.84
P(L|AH)=1-0.84=0.16
と計算できました。
同様にP(L|AL)とP(H|AL)も計算してみましょう。
P(L|AL)=P(L⋂AL)/P(AL)
ここで、
P(L⋂AL)=P(AL|L)P(L)=0.9×0.6=0.54
P(AL)=1-P(AH)=1-0.38=0.62
よって、
P(L|AL)=0.54/0.62=0.87
P(H|AL)=1-0.87=0.13
となります。
以上で、未知だったすべての確率が求まりました。
ディシジョンツリーに書き入れると、次のようになります。（青字）
ディシジョンツリーを解く
ここまでこれば、後は【ディシジョンツリー分析】テスト販売にかけるコストはいくらが妥当か？で解説したやり方で解いていくだけです。
例えば、可能性ノード①の期待金額価値の計算は次のようになります。
(4億-0.8億)×0.84+(10億-0.8億)×0.16
=4.16億円
同様に②から⑥までの可能性ノードについて計算すると、次のようになります。
決定ノードについては大きい方の分岐の値を取るだけですので、更に次のように簡略化できます。
可能性ノード⑦の期待金額価値を計算すると、更に次のように簡略化できます。
最後に残った決定ノードでは、７.３億よりも７.６億の方が大きいため、アナリストに頼まない方がお得ということが分かります。
しかしこれはアナリストに頼むと８千万円もかかるためです。
もしアナリストが５千万円以下にディスカウントしてくれれば、アナリストに頼む方がお得になるということも分かります。
まとめ
- ベイズ推定を使えば逆確率を求めることができる
- ディシジョンツリー分析で確率が分からなくても焦ることはない。ベイズ推定で逆確率を求めることにより分かることもある
- ディシジョンツリー分析では、どちらの選択がお得かを求めるだけでなく、お得になるための条件も求めることができる