【マルコフ連鎖】宅配便の販促キャンペーンにかけるコストはいくらか妥当か？
某国の宅配便市場は年間１億個の需要があり、３社で独占されています。
マーケット調査会社が、ある宅配便会社を利用した顧客が次にどの宅配便便会社を利用したかを調べたところ、次のような統計になりました。
宅配便会社A社は某広告会社から、
「有名俳優Kを使った販促キャンペーンを行いましょう。このキャンペーンにより上記の統計が下記のように変わることを１年間保証します。」
という年間価格２億円の販促キャンペーンの提案を受けています。
A社では貨物１個当たり、平均１００円の利益があります。
A社はこの販促キャンペーンに年間２億円を支払う価値があるでしょうか？
現在の各社の市場シェアを求める
この国では顧客が宅配便会社を決める行動が、前回のサービス満足度に依存しているためマルコフ連鎖で近似することができます。
そして遷移確率行列は最初に出てきた表の通りで、次のようになります。
まずこの行列をｎ乗してｎを大きくしていったら定常状態に収束するか、つまり不変分布が存在するかどうかをチェックしてみましょう。
まず遷移状態図を描くと次のようになります。
マルコフ連鎖が不変分布を持つための条件は①連結か？、②再帰的か？、③非周期的か？の３つです。
①連結か？
A、B、Cとも他のすべての状態に矢印でつながっているため、すべての状態は連結しています。
②再帰的か？
ある状態から他の状態へ遷移して、そのまま戻ってこれないという状態は存在しないため、すべての状態は再帰的です。
③非周期的か？
すべての状態は直接自分に戻ってくるルート（例えば８０％の確率でA⇒A）があるため、すべての状態の周期は２にはならずに１になります。そのためすべての状態は非周期的です。
このように３つの条件をすべて満たしているため、このマルコフ連鎖には不変分布が存在します。
そして不変分布は、
ΠＰ＝Π
を解くことにより求めることができます。
この場合、状態はA社、B社、C社の３つなので、ベクトルΠは３つの成分
Π＝［Π１ Π２ Π３］
で表せます。
従って、ΠＰ＝Πは次のように①～③の連立方程式になります。
しかし、この３つの式で独立なのは２つだけです。
そのため１つの式を削って、代わりにΠ１＋Π２＋Π３＝１の式を追加します。
ここでは式①を削るとすると、新たに次の連立方程式ができます。（式②と③は移項して右辺を定数にしています）
Π１＋Π２＋Π３＝１
０.１Π１－０.３Π２＋０.３Π３＝０
０.１Π１＋０.１Π２－０.５Π３＝０
この連立方程式を地道に解いてもいいのですが、ここでは行列を使って解いてみましょう。
A-1はExcelのMINVSERSE関数で簡単に計算できます。
また、A-1ｂもExcelのMMULT関数で簡単に計算できます。
これで不変分布Πが求まりました。
Π１＝０.５
Π２＝０.３３
Π３＝０.１７
です。
つまり、A社の市場シェアは５０％、B社は３３％、C社は１７％です。
販促キャンペーン後の市場シェアを求める
販促キャンペーンによって遷移確率行列が変わりますが、同じようにして販促キャンペーン後の市場シェアも求めることができます。
ExcelでA-1bを計算すると、次のようになります。
よって、販促キャンペーン後はA社の市場シェアは６０％、B社は２４％、C社は１６％になることが分かります。
増益額と販促キャンペーンコストを比較する
以上より、販促キャンペーンを行うことによってA社の市場シェアは５０％から６０％に１０ポイントアップすることが分かりました。
この国の宅配便市場は年間１億個の需要があるため、A社の取り扱い個数は年間１千万個増加します。
貨物１個当たりの利益は１００円ですので、年間１０億円の増益が見込めます。
これに対して販促キャンペーンのコストは年間２億円ですので、A社はこの広告会社の提案に乗るべきという判断になります。
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