【マルコフ連鎖】標準体重の人が太りすぎになるまで平均何年かかる？
ある病院では毎年行っている健康診断で肥満度の統計をとっています。
それによると、ある年の健康診断で標準だった人が次の年にも標準である確率は８５％、太りすぎになる確率は１０％、痩せすぎになる確率は５％です。
また、太りすぎだった人が次の年にも太りすぎである確率は８０％、標準になる確率は１５％、痩せすぎになる確率は５％です。
逆に、痩せすぎだった人が次の年にも痩せすぎである確率は９０％、標準になる確率は８％、太すぎになる確率は２％です。
今年の健康診断で標準だった人が太りすぎになるまで、平均何年間の猶予があるでしょうか？
平均初回通過時間（MFPT）とは？
【マルコフ連鎖と遷移確率行列】５年後に太ってしまう確率は何％？で見たように、この問題をマルコフ連鎖で表すと遷移確率行列は次のようになります。
ここで、１行目から３行目はそれぞれｔ時間ステップにおける標準、太りすぎ、痩せすぎを表し、１列目から３列目はそれぞれｔ＋１時間ステップにおける標準、太りすぎ、痩せすぎを表します。
この例では１時間ステップは年なので、例えば今年標準体重だった人が翌年も標準体重である確率が８５％であることは、遷移確率行列の（１，１）成分を見れば分かります。
ここで、今年標準体重だった人が太りすぎになるのに平均で何年かかるか考えてみましょう。
今年標準体重だった人が来年太りすぎになる確率は１０％しかないので、１年で太りすぎになる可能性は低いでしょう。
ほとんどのケースでは来年も再来年も標準体重にとどまって、何年か後に太りすぎに移行する可能性が高いでしょう。
もしくは可能性は低いものの、来年痩せすぎになって、その後何年かかけて太りすぎに移行する人もいるかもしれません。
これらの可能性をすべて考慮した上で太りすぎになるまでに何年かかるかを調べるのは難しい問題ですね。
これは平均初回通過時間（Mean First Passage Time、略してMFPTと呼びます）を調べる問題として知られています。
平均初回通過時間（MFPT）を求める公式
これを求めるには次のように考えます。
これだけ見てもよく分かりませんね。
まず状態ｉから状態ｊにつながっている線を見て下さい。
これは状態ｉから状態ｊに到着する時間が１で、そうなる確率はＰｉｊであることを示しています。
次に状態iから状態１につながる線を見て下さい。
これは状態iから状態１を経由して状態jに到着する時間が１＋ｍ１ｊで、そうなる確率がＰ１１であることを示しています。
ここでｍ１ｊは状態１から状態ｊへ到達する平均初回通過時間MFPTを表しています。
つまり１＋ｍ１ｊは、状態ｉから状態１を経由して状態ｊに到達する場合の平均初回通過時間を表しています。
同様に１＋ｍ２ｊは、状態ｉから状態２を経由して状態ｊに到達する場合の平均初回通過時間を表し、１＋ｍｓｊは、状態ｉから状態ｓを経由して状態ｊに到達する場合の平均初回通過時間を表しています。
これで状態ｉから状態ｊに至るすべてのルートの平均初回通過時間が求まったので、それぞれに対応する確率を掛けて合計すれば、状態ｉから状態ｊに至る平均初回通過時間ｍｉｊが求まります。
（これは期待値の計算です）
以上が平均初回通過時間ｍｉｊを求める式になります。
また特殊なケースとして
が知られています。
不変分布になるか調べる
このようにｍｉｉを計算するには不変分布であるΠiが必要なので、まずはこのマルコフ分布の不変分布を求めます。
有名な公式
ΠＰ＝Π
を使います。
マルコフ連鎖が不変分布に収束するための条件を図でわかりやすく解説
Excelで計算するとこうなります。
よって、不変分布は
Π１＝０.４２２
Π２＝０.２４４
Π３＝０.３３３
と求まりました。
公式を使ってｍ１２を求める
次に平均初回通過時間ｍｉｊを求める公式に代入していきます。
に代入していくと、
ｍ１２＝１＋Ｐ１１ｍ１２＋Ｐ１３ｍ３２
＝１＋０.８５ｍ１２＋０.０５ｍ３２
ｍ１３＝１＋Ｐ１１ｍ１３＋Ｐ１２ｍ２３
＝１＋０.８５ｍ１３＋０.１ｍ２３
ｍ２１＝１＋Ｐ２２ｍ２１＋Ｐ２３ｍ３１
＝１＋０.８ｍ２１＋０.０５ｍ３１
ｍ２３＝１＋Ｐ２１ｍ１３＋Ｐ２２ｍ２３
＝１＋０.１５ｍ１３＋０.８ｍ２３
ｍ３１＝１＋Ｐ３２ｍ２１＋Ｐ３３ｍ３１
＝１＋０.０２ｍ２１＋０.９ｍ３１
ｍ３２＝１＋Ｐ３１ｍ１２＋Ｐ３３ｍ３２
＝１＋０.０８ｍ１２＋０.９ｍ３２
となります。
この連立方程式を解くと、
ｍ１２＝１３.６
ｍ１３＝２０
ｍ２１＝８
ｍ２３＝２０
ｍ３１＝１１.６
ｍ３２＝２１
となります。
知りたいのは標準体重の人（状態１）が太りすぎ（状態２）になるまでの平均時間なのでｍ１２です。
それは１３.６、つまり平均で１３.６年かかることが分かりました。