【z検定の使い方】カイゼン効果を正規分布と標準偏差の関係を使って定量化する
カイゼン効果を検証するz検定
何かやり方を変えた時には、その効果を測定したいものです。
例えば、作業台の高さを作業し易いように変えたとしましょう。
変える前の処理数の平均は1時間当たり100個、標準偏差は35個でした。
変えた後、30時間分のデータを採ったら、1時間当たり110個に増えました。
これは効果があったと言えるでしょうか？
この疑問に統計的に答えてくれるのが「検定」です。
検定には色々ありますが、今回は一番基本的なz検定について解説します。
z検定の考え方
統計で言う検定には流儀があります。
それは、
- 差は誤差範囲であるという仮説を立てる
- 差の中に母集団データの何％が入るかを計算する
- 95%未満なら「差がない」、95%以上なら「差がある」
という考え方をすることです。
先の例で言うと、
- 110個と100個の差10個は誤差範囲である（＝効果がなかった）という仮説を立てる
- 100個±10個の中に、母集団の何％のデータが入るか計算する
- 95%未満なら「差がない」（＝効果がなかった）、95%以上なら「差がある」（＝効果があった）
という風に考えます。
正規分布と標準偏差の関係を利用する
具体的に見ていきましょう。
1は仮説を立てるだけなので問題ないでしょう。
問題は2です。
ここで母集団とは、改善前のデータのことです。
平均は100個、標準偏差は35個です。
以前の記事で、データが正規分布に従うなら、平均から標準偏差何個分離れているかが分かれば、そのデータと平均との間に全体の何％のデータが含まれているかが分かることを解説しました。
【標準偏差を使えば確率が分かる】標準正規分布表の使い方をわかりやすく解説
具体的には下記の式からzを求めて、標準正規分布表で検索すれば求まるのでした。
z = (x – μ) / σ
μ：母集団の平均
σ：母集団の標準偏差
検定でもこの原理を使います。
違うのは、標準偏差σを√nで割ることだけです。
冒頭の例だとn=30です。
なぜ√nで割るのかと言うと、サンプル平均の分布を考えているからです。
サンプルデータ自体の分散はσ2（標準偏差はσ）ですが、n個のサンプルデータの平均の分散なのでσ2/n（標準偏差はσ/√n）となるのです。
改めてzを計算してみると、次のようになります。
z = (x – μ) / (σ/√n) = (110 – 100) / (35/ √30) = 1.56
これは改善後のデータは改善前のデータから、標準偏差1.56個分離れていることを意味します。
zが分かったので、標準正規分布表を検索してみましょう。
これから、xとμの間には44%のデータが含まれることが分かります。
これは片側だけですので、両側を考えると、μからx離れた範囲に全体の88%のデータが含まれていることが分かります。
有意水準5%の意味
μは改善前の生産性の平均値ですので、この割合（88%）が小さいほど、改善後の生産性が改善前の生産性と近いことを意味します。
つまり、誤差範囲だとします。
では、どれくらいまでを誤差範囲と言うのでしょうか？
検定では通常95%までを誤差範囲ということにしています。
つまり、平均の周り95%データは正常のばらつきの範囲内、それ以外は「滅多に起こらないこと」、つまり違う母集団のデータと見なすのです。
これを有意水準5%とも言います。
従って、冒頭の例では、
「作業改善によって、生産性が100個／時から110個／時に上がったが、残念ながら誤差範囲でした。生産性は上がったとは言えません」
という結論になるのでした。
まとめ
少し意外な結果だったのではないでしょうか？
普通は、10%も変わっていれば効果があったと見なしてしまいそうです。
この例では2つのトリックがあります。
1つは母集団、つまり改善前の生産性の標準誤差が35個もある点です。
平均±標準偏差の中には全体の68%のデータが含まれますので、135個以上または65個未満のデータが32%含まれるほど、データがばらついています。
そのため、10個の差が誤差範囲と見なされてしまうのです。
2つめは、改善後のデータ数が30しかないことです。
このサンプルサイズは小さいほど不確かなデータということになりますので、10個という差が誤差範囲と見なされる確率が大きくなります。
現に、サンプルサイズが50なら改善したという結果になります。
しかし、統計学的には今回の条件では間違いなく誤差範囲、つまり改善効果があるとは言えないという結果になります。