【分散分析とは？】その原理を図解で理解してExcelの分析ツールで計算してみる
ある物流会社では毎日約５０台のトラックの配車を３人で行っています。
各人が配車したトラックの積載率の毎日の平均を調べました。
１０日間の結果は次の通りでした。
３人の実力には違いがあると言えるでしょうか？
分散分析とは？
３年A組と３年B組で同じ数学のテストをした時に、２組で点数の差があると言えるかどうかを調べたい時にはｚ検定やｔ検定を使います。
しかし、３年Ｃ組も合わせた３組で点数の差があると言えるかどうかを調べたい時にはｚ検定やｔ検定は使えず、分散分析を使います。
つまり、ｚ検定やｔ検定は２組の検定にしか使えず、３組以上で検定するには分散分析を使います。
分散分析という名前ですが、グループ間で差があると言えるかどうかを調べるという目的はｚ検定やｔ検定と同じ、違いはグループの数だけだと思っておいて大丈夫です。
冒頭の例では３人の成績に差があるかどうかを調べますので、分散分析をすることになります。
分散分析の原理
それではこれから分散分析のやり方を、冒頭の例を使ってスーパーわかりやすく説明していきます。
まず、各スタッフのデータの平均と標準偏差を求めます。
各スタッフのデータはそれぞれ正規分布に従うと考えられますので、ヒストグラムにすると次のようなイメージになります。
つまり、３つの山が重なり合っているイメージです。
しかも山の広がり方は標準偏差によって異なります。
Aさんの山（分布）は平均が７７ですので左側にあり、標準偏差が２.１ですので幅の狭い山です。
これに対してCさんの山は平均が８１ですので右側にシフトしており、標準偏差も４.６と大きいので幅の広い山です。
これらの山同士が近ければ各スタッフのデータに違いがないと言え、離れていれば違いがあると言えます。
各スタッフの平均値のばらつきを求める
山同士が近いか離れているかを測るのに、どのような指標が有効でしょうか？
そうです、分散です。
いくつかのデータがある時に、それらのデータの散らばり度合いを測る指標が分散でしたね。
ですので、各山の平均値の分散を計算すれば、山同士の散らばり度合いを測ることができます。
ここでの注意点は分散は不偏分散を使っている点です。
不偏分散では自由度がn―１（データ数―１）になります。
また分散から偏差平方和を求めています。
偏差平方和というのは(平均―データ)２をすべてのデータについて足し合わせた値です。
たとえ分散が同じ値でも、１０個のデータの分散なのか１００個のデータの分散なのかで偏差の絶対量は違ってきます。
ですので、分散にデータ数を掛けて偏差平方和も求めておきます。
この場合は全体の分散を求める時の自由度が２で、かつ２つの平均は１０個のデータから計算されていますので、データ数は２０になります。
従って分散０.０５に２０を掛けた０.９５が偏差平方和になります。
これが、３人の平均値のばらつきになります。
このばらつきは大きければ大きいほど３人の実力差があるということです。
同一スタッフのデータのばらつきを求める
ところで同じスタッフが配車を行っても、日によって当然ばらつきは出ます。
このような同一スタッフによるデータのばらつきはどのように測れるでしょうか？
そうです、これも分散です。
しかもこの場合は、各スタッフの１０個のデータについてそれぞれ分散を求めればOKです。
次のように計算できます。
この場合もデータ数も考慮した偏差の絶対量を求めるために偏差平方和も求めています。
それぞれの不偏分散の自由度は９（１０個のデータから計算しているのでn-1は９）ですので、不偏分散に９を掛けて偏差平方和を求めます。
そしてそれらを合計すると２.８５になります。
これは、同じスタッフが配車しても、日々の条件によって配車台数が変動することを数値化したものです。
２つのばらつきをF検定で比較する
今求めた２つのばらつきを使うと、
３人の平均値のばらつき＞同じスタッフのデータのばらつき
であれば、３人の実力差があると言えますね。
実際、これが分散分析です。
データのばらつきを比較するにはどうすればよいでしょうか？
そうです、Ｆ検定を使います。
簡単にＦ検定をおさらいすると、片方の不偏分散がσ12で、もう片方の不偏分散がσ22である時、F値σ12/ σ22を計算して、それがF分布のグラフの端に位置すれば２つの不偏分散は違うと言えるのでした。
ですので、まずは先に計算した偏差平方和を不偏分散に直します。
不偏分散は偏差平方和÷n―１で計算します。
まず３人の平均値のばらつきを表す不偏分散は３つのデータ（３人それぞれの平均値）から計算しているので、データ数は３となり、n―１は２です。
次に同じスタッフのデータのばらつきを表す不偏分散は、各３人の不偏分散は１０個のデータから計算しているのでn―１は９、これが３人分あるので２７です。
従って
σ12＝３人の平均値の不偏分散＝０.９５÷２＝０.４７
σ22＝同じスタッフの不偏分散＝２.８５÷２７＝０.１０５
になります。
よって
F値＝σ12／σ22＝０.４７÷０.１０５＝４.５
となります。
このF値が累積F分布のどこに位置するのかはF.DIST関数で計算できます。
F.DIST（F値、分子の自由度、分母の自由度、TRUE）
＝F.DIST(4.5, 2, 27, TRUE)
=0.98
これは０からこのF値（＝４.５）までの間に、９８％のデータが含まれることを意味します。
通常、F値が９５％までの間にある場合に差異なしとみなします。（＝有意水準５％）
９５％に相当するF値は計算してみると３.３５ですので、４.５ということはもはや２つの分散は同じとは言えないことになります。
つまり、３人の実力差はあると考えるのが妥当だということです。
Excelの分析ツールを使って分散分析をしてみる
このように実際にやってみると、分散分析の計算はそれほど難しくはありませんが、自由度の考え方が少し厄介で、間違いの元です。
でも安心して下さい。
Excelの分析ツールを使えば一発で計算できます。
データ⇒データ分析⇒分散分析：一元配置⇒OKをクリックします。
すると設定画面が現れますので、下記のように入力します。
すると即座に次のような表ができます。
観測された分散比がF値のことで、P-値がそれに対応する（１－累積確率）です。
ご丁寧にも判断の基準となる９５％点のF値も表示してくれています。（＝３.３５）
その他にもいろいろな値が表示されていますが、下記のようにすべて先ほど計算した値です。
まとめ
分散分析とはデータのばらつきを
それぞれのグループの平均のばらつき
と
グループ内のデータのばらつき（誤差）
に分解し、２つのばらつきをF検定することです。
こうすることにより、グループ間の平均値に差があるかどうかを検定することができます。
ｚ検定やｔ検定は２つのグループの平均値しか検定できませんが、分散分析は３つ以上のグループの検定ができます。
これはグループの数がたとえ１００個あったとしても、たった２つのばらつきに分解してＦ検定するだけなので、グループの数に依らないためです。
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