【分散の重要性がわかる具体例！】スーパーの一列待ちの効果を検証する

2021年6月26日2023年10月7日

「分散」の重要性がわかる具体例～スーパーの一列待ち～

スーパーのレジ待ちは、時に客をイライラさせます。

それぞれのレジに1列ずつ並ぶのがいいのでしょうか？

それとも、まとめて1列に並んで、空いたレジから順に進んでいく方がいいのでしょうか？

 

その答えは「平均」で考えると、いつまで経っても分かりません。

「分散」で考える必要があります。

どういうことなのか、以下解説します。

 

「平均」で考えると何も変わらない

ここで一つ仮定を置きます。

それは、それぞれのレジに別々に並ぶ場合、どのレジに並んでも待ち時間は同じという仮定です。

待つのが大好きという客はいないでしょうから、皆、抜け目なく空いた列を選んで並ぶ結果、どのレジに並んでも一緒とするのです。

 

レジごとに並ぶ場合に、あなたの前に並んでいる人をP人、レジの数をRとすると、次のようになります。

 

一方、まとめて1列に並ぶ場合は次のようになります。

 

レジでの処理時間は客ごとに異なります。

そこで、客は全部でP×R人いて、それぞれの客には1からP×Rまでの背番号が付いていると想像します。

そして、背番号iの客の処理時間をT_iとします。

また、T_iは平均T_avg、分散σ²の正規分布に従うとします。

 

レジごとに並ぶ場合、あなたはどのレジに並んでも待ち時間は同じですので、レジ1の列に並びます。

すると、待ち時間はT_avg×Pになります。

 

一方、まとめて1列に並ぶ場合の待ち時間はT_avg×P×R÷R＝T_avg×Pとなります。

 

つまり、平均待ち時間で比較すると、両者差がないことになります。

 

「分散」で考えると違いがわかる

次に待ち時間の分散を比較してみましょう。

別々のレジに並ぶ場合は、1レジ当たりの処理時間は

T₁+ T₂+・・・+ T_P

ですので、分散は

V(T₁+ T₂+・・・+ T_P)

= V(T₁)+ V(T₂)+・・・+ V(T_P)

になります。

【分散の加法性とは？】足し算だけでなく平均値にも応用する方法を解説

 

V(T_i)はすべてσ²ですので、Pσ²になります。

 

一方、まとめて1列に並ぶ場合は、1レジ当たりの処理時間は

(T₁+ T₂+・・・+ T_P×R) / R

ですので、分散は

V{(T₁+ T₂+・・・+ T_P×R) / R}

= V(T₁/R)+ V(T₂/R)+・・・+ V(T_P×R/R)

= (1/R²)V(T₁)+ (1/R²)V(T₂)+・・・+ (1/R²)V(T_P×R)

= (1/R²){V(T₁)+V(T₂)+・・・+V(T_P×R)}

= (1/R²) P×Rσ²

= P/Rσ²

となります。

 

つまり、まとめて1列に並ぶ方が、分散が1/R倍だけ小さくなります。

分散の平方根が標準偏差なので、標準偏差で比べると√(1/R)倍小さくなります。

 

例えば、レジが4台あるとします。

レジごとに並んだ場合は、1列に並んだ場合に比べて、待ち時間の分散が4倍、標準偏差が2倍になります。

下の図は、待ち時間の平均が15分の場合の比較です。

 

レジ待ち時間は両方ともばらつきますが、レジごとに並ぶと大幅に遅れる可能性があるということです。

逆に、大幅に早まる可能性もあるということにもなります。

 

つまり、レジごとに並ぶのは当たり外れが大きいギャンブルです。

そしてギャンブルに負けた客がイライラすることになります。

1列待ちには、そのようなギャンブル敗者を出さない効果があると言えます。

 

安全在庫への分散の応用例はこちらをご参考まで。

物流拠点集約で安全在庫はどれくらい減るのか？は一概には言えない理由

 

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