10%の確率で獲得できる営業案件が30件ある時、3件取れる確率は何％？
負の二項分布を使える具体例
物流会社Aは東南アジアに現地法人を開設しようとしています。
年商5億円の案件を3件獲得することが条件です。
既に年商5億円を見込める案件を30件リストアップしており、各案件を獲得できる確率は10%です。
この稟議は通るでしょうか？
負の二項分布とは？と式の導出
同じことを繰り返し行うとき，k 回成功するまでの試行回数が従う分布を負の二項分布と言います。
これは次のように考えることができます。
確率 p で成功するような試行を繰り返し行うとします。
k 回成功するまでに x 回の試行が必要となる確率は、x-1回でk-1回成功した後のx回目に成功する確率なので、二項分布の式から、
= x-1 C k-1 p k (1-p) x-k
となり、これが負の二項分布の式になります。
負の二項分布を具体例に適用する
冒頭の例に当てはめてみましょう。
1件の案件を獲得できる確率が10%で、3件の案件を獲得（成功）しなければいけないので、p＝0.1、k＝3です。
エクセルで計算すると、このようになります。
これをグラフにするとこのようになります。
20件くらいの案件にアプローチしたところで、3件獲得できる確率が一番高くなっていることが分かります。
30件の潜在顧客がいますので、稟議通りに実現できそうな感じがします。
負の二項分布の累積確率分布はExcel関数で計算できる
しかし、これは確率密度であって、確率ではありません。
20件アプローチした段階での獲得確率を求めるには、横軸の0から20までを積分する必要があります。
これは負の二項分布の累積確率分布と呼ばれ、エクセル関数に用意されています。
NEGBINOM.DIST(失敗数 , 成功数 , 成功確率 , FALSE)・・・確率
NEGBINOM.DIST(失敗数 , 成功数 , 成功確率 , TRUE)・・・累積確率
この関数を使うと、次のように計算できます。
累積確率をグラフにすると、こうなります。
これによると、20件の案件にアプローチしても、3件獲得できる確率は32%しかありません。
もし経営陣が80%以上の確率を求めるのでしたら、42件の案件にアプローチする必要があります。
潜在顧客リストには30件しかありませんので、この稟議は却下されるでしょう。
まとめ
今回は
k回成功するまでの試行回数が従う確率分布
として負の二項分布を定義しましたが、この他にも３つの定義があります。
これだけ色々な定義がある確率分布は珍しく、これが負の二項分布の理解を難しくしていると言えます。
他の定義式については、こちらでまとめて解説しています。
また、４種類の負の二項分布の使い方については、こちらで解説しています。
ところで、なぜこのような結果になってしまったのでしょうか？
30件の案件があり、10%の確率で獲得できるのでしたら、それだけで3件は獲得できると思ってしまいます。
しかし確率論では、これだけでは不十分です。
たかが10%の成功確率では、不確実性が大きいと判断するためです。
試しに成功確率が50%だと、累積確率分布はこのようになります。
先ほどのグラフと比べて、急激に立ち上がっていることが分かります。
成功確率が50%あれば、不確実性が小さくなるためです。
このように平均値だけで判断するのは片手落ちです。
不確実性は分散、またはその平方根である標準偏差で表されます。
分散や標準偏差が大切な理由がこの例からも分かります。
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