【４通りの負の二項分布の使い方】具体例でわかりやすく解説します。
４通りある負の二項分布
負の二項分布には４通りのパターンがありますが、すべて同じことを言っているのだということを前回の記事で解説しました。
パターン１）k回成功するまでの試行回数xの確率分布
パターン２）k回成功するまでの失敗回数rの確率分布
パターン３）r回失敗するまでの試行回数xの確率分布
パターン４）r回失敗するまでの成功回数kの確率分布
今回は例題を解きながら、更に理解を深めていきます。
４通りの負の二項分布の使い方の具体例
パターン１）k回表が出るまでの試行回数xの確率分布
【例題１―１】
ここにジョーカー抜きのトランプカード５２枚があります。
この中から１枚ずつ引いて、ジャック（１１）を２枚引くのに必要な試行回数の確率分布を求めましょう。
但し、引いたカードはデックの中に都度戻すとします。
解法１－１
１デックには５２枚のカードがあり、その中にジャックは４枚あります。
従って、ジャックを引く確率は
４÷５２＝７.７％
です。
負の二項分布の表記では試行回数をx、成功回数をk、失敗回数をrとしましたね。
ジャックを引くことを成功とすると、この問題はk回成功するまでの試行回数xの確率分布を求める問題です。
ですからパターン１です。
パターン１の公式は
でしたので、これにp=0.077、k=2を代入すると、
f(x) = (x-1)!/(x-1-(2-1))!(2-1)!×0.0772×(1-0.077)(x-2)
となります。
nCkがn!/(n-k)!k!で計算できるのが分からない人は、次の記事を読んでみて下さい。
これはExcelで次のように計算できます。
グラフにするとこうなります。
ジャックを２枚引くには１３回、または１４回カードを引く可能性が一番高いことが分かります。
【例題１―２】
某国には掘れば大油田が見つかる可能性があるエリアがあります。
しかし掘り当てられる確率は３０％です。
３回の掘削で最初の油田が見つかる可能性は何％でしょうか？
また３回以内の掘削で油田が見つかる可能性は何％でしょうか？
解法１－２
これは少し引っ掛け問題っぽいですが、１回成功するまでの試行回数xの確率分布を求める問題です。
そして出来上がった関数f(x)のxに３を代入すれば、３回目の試行で初めて成功する確率が計算できます。
p=30%、k=1を公式に代入すると、
f(x) = (x-1)!/(x-1-(1-1))!(1-1)!×0.32×(1-0.3)(x-2)
となります。
Excelで計算すると次のようになります。
３回目ピッタリに最初の油田が見つかる確率は１４.７％、３回目以内に油田が見つかる確率
は６５.７％になりました。
パターン２）k回成功するまでの失敗回数rの確率分布
【例題２―１】
新婚の田中さんは２人の女の子が欲しいと思っています。
２人目の女の子が生まれるまでに、２人の男の子を授かってしまう確率は何％でしょうか？
男女が生まれる確率は半々とします。
解法２－１
田中さんにとって、女の子を授かるのが成功、男の子は失敗です。
とすると、２回目の成功までに２回失敗する確率を求める問題なので、パターン２です。
パターン２の公式は下記でした。
これにp=0.5、k=2を代入すると、
f(r) = (2+r-1)!/r!(2+r-1-r)!×0.52×(1-0.5)r
となります。
パターン１と違って、失敗回数rの関数であることに注意です。
Excelで計算すると次のようになります。
２人目の女の子が生まれるまでに、２人の男の子を授かってしまう確率は約１９％になりました。
ところで、１人または２人の男の子を授かってしまう確率は約４４％です。
これは多くの人の直観に反するのではないでしょうか？
２人の女の子が生まれるのと、２人の男の子が生まれる確率は半々なのだから、５０％と思いますね。
しかし、女の子と男の子は双子でない限り、同時には生まれません。
２人目の女の子が生まれた時点でゲーム終了ですので、それまでに２人の男の子が生まれる確率は少し低くなるのです。
【例題２―２】
あるトラックメーカーの新品タイヤの欠陥率は５％と言われています。
２２輪のダブル連結トラックを１台購入して、最大２本のタイヤに欠陥がある確率は何％でしょうか？
解法２－２
欠陥率５％ということは良品率９５％です。
従ってこの問題は、２２回成功するまでに１回または２回失敗する確率を求めることと同等で、パターン２になります。
先の公式にp=0.95、k=22を代入すると、
f(r) = (22+r-1)!/r!(22+r-1-r)!×0.952×(1-0.95)r
となります。
これをExcelで計算すると次のようになります。
最大２本のタイヤに欠陥がある確率は５６％もあることが分かります。
ちなみにグラフにするとこうなります。
パターン３）r回失敗するまでの試行回数xの確率分布
【例題３―１】
某物流会社での下請け管理規定では、貨物のピックアップ時間に３回遅刻したら契約を解除することになっています。
某下請け会社の過去の遅刻率は３％です。
この下請け会社が１００回の配車で契約解除になっている可能性は何％でしょうか？
解法３－１
下請け会社の遅刻率は３％ですので、遅刻しない率（成功確率）は９７％です。
この問題は、３回失敗するまでの試行回数xの確率分布を求める問題と同等で、パターン３になります。
パターン３の公式は以下の通りでした。
この式にp=0.97、r=3を代入すると、
f(x) = (x-1)!/(3-1)!(x-1-(3-1))!×0.97(x-3)×(1-0.97)3
となります。
Excelで計算すると次のようになります。
これをグラフにするとこうなります。
１００回目の配車で３回目の遅刻をする確率は約０.７％です。
求めたいのは１回目から１００回目までの配車で３回目の遅刻をする確率の累計です。
これを求めると５８％になります。
パターン４）r回失敗するまでの成功回数kの確率分布
【例題４―１】
競馬好きの田中さんは今年大きく負け越してしまい、あと５回負けたら今後一切競馬をやらない約束を奥さんとしてしまいました。
田中さんがあと１０回以上勝てる確率は何％でしょうか？
過去の勝率は６０％です。
解法４－１
まず、５回失敗するまでに成功する回数kの確率分布f(k)を求めます。
そして出来上がったf(k)にk=0～9を代入して、f(k)の累計値を求めます。（Σk=0-9f(k)）
更に１からその値を引けば、５回失敗するまでに１０回以上成功する確率を求められます。
パターン４の公式は以下の通りでした。
これに、p=0.6とr=5を代入すると、
f(k) = (k+5-1)!/(5-1)!(k+5-1-(5-1))!×0.6k×(1-0.6)5
となります。
成功回数kの関数になっていることに注意です。
Excelで計算すると次のようになります。
田中さんが残り９回以内しか勝てない確率は７２％です。
従って、あと１０回以上勝てる確率は２８％になります。
ちなみに、残り勝てる回数の確率分布は次のようになります。
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