「負の二項分布」の４通りの定義を具体例を使ってまとめて解説する決定版
負の二項分布には４通りの定義がある
成功か失敗か二者択一しかない試行を何回か繰り返した場合、成功した各回数の確率を求める式が二項分布でした。
これに対して、同様の二者択一の試行を繰り返した場合に、ある特定の回数成功するための各試行回数の確率を求める式が負の二項分布でした。
ところが本によっては、負の二項分布はある特定の回数成功するための各失敗回数の確率を求めるための式とも書かれています。
どちらが本当なのでしょうか？
実は２つとも本当です。
というか、あと２つあり、全部で４通りの定義があります。
これが負の二項分布の理解を難しくしている原因です。
またマーケティングを数学して、USJをV字回復させた逸話を書籍化した「確率思考の戦略論 ＵＳＪでも実証された数学マーケティングの力」の中で中核となっている「売上を支配する式」として紹介されているNBDモデルは、市場構造を負の二項分布に帰着させています。
負の二項分布をしっかり理解したいと思っているマーケターの方も多いのではないでしょうか。
この記事を読めば、全部すっきりと理解できるでしょう。
まずは２つの定義を理解する
コイン投げにおける負の二項分布の２つの定義
先ほど、
同様の二者択一の試行を繰り返した場合に、ある特定の回数成功するための各試行回数の確率を求める式が負の二項分布である
とか
同様の二者択一の試行を繰り返した場合に、ある特定の回数成功するための各失敗回数の確率を求める式が負の二項分布である
と申し上げましたが、何だかよくわかりませんね。
そこで、コイン投げを例に取って説明します。
コイン投げは表か裏という二者択一の結果しかありませんね。
ですので、コイン投げは二者択一の試行です。
この試行のことをベルヌーイ試行と言いますが、この名前は別に覚えなくても大丈夫です。
２回表を出すために何回コインを投げればいいでしょうか？
そんなの分かりませんね。
やってみないと分からないし、しかも毎回変わるはずです。
これを数学的に言うと、
「試行回数は確率変数である」
と言います。
試行回数が２回である確率がa％、３回である確率がb％、、、というように変数の値は確率とセットになっています。
このように確率変数と確率のセットを求める関数式が確率分布です。
負の二項分布では、試行回数とそれに対応する確率のセットを求める式です。
先ほどの例に戻ります。
コイン投げで２回表を出すには、何回投げればいいでしょうか？
負の二項分布で計算すると、２回の確率２５％、３回の確率２５％、４回の確率１９％、、、というように計算できます。
これが、
同様の二者択一の試行を繰り返した場合に、ある特定の回数成功するための各試行回数の確率を求める式が負の二項分布である
の定義で言っている意味です。
（ある特定の回数成功：２回表が出る、各試行回数：２回、３回、４回、、、）
では、
コイン投げで２回表を出すために、何回裏が出るでしょうか？
これもやってみないと分からないし、毎回結果は変わりますので、何回裏が出るかも確率変数です。
これを負の二項分布で計算すると、０回の確率２５％、１回の確率２５％、２回の確率１９％、、、というように計算できます。
これが、もう一つの定義
同様の二者択一の試行を繰り返した場合に、ある特定の回数成功するための各失敗回数の確率を求める式が負の二項分布である
で言っている意味です。
２つの定義は同じこと
２つの定義の違いが分かりましたか？
２回表を出すための試行回数の確率分布を求めるか、裏が出る回数の確率分布を求めるかの違いです。
でも、結果を見てみると何だか似ていますね。
【試行回数の確率分布】
２回の確率２５％、３回の確率２５％、４回の確率１９％、、、
【裏が出る回数の確率分布】
０回の確率２５％、１回の確率２５％、２回の確率１９％、、、
そう、２回ずつずれているだけです。
これは考えてみれば当たり前のことです。
なぜなら、２回表を出すのに２回の試行が必要ということは、裏が出る回数はゼロですね。
同様に３回の試行が必要ということは、１回だけ裏が出たということです。
２回表が出たという条件の下では、
裏の出る回数＝試行回数－２
になるのです。
これから分かるように、この２つの定義は同じことを言い変えているだけです。
もう少し論理的に整理しておきましょう。
試行回数をx、表が出る回数をk、裏が出る回数をrとします。
１番目の定義は、k回表が出るまでの試行回数xの確率分布
２番目の定義は、k回表が出るまでに裏が出る回数rの確率分布
を求めるということです。
このように定義すると、x－kの確率とrの確率は同じになります。
表と裏を変えたのがもう２つの定義
では、あと２つの定義は何でしょうか？
１番目と２番目の定義では、表が出る回数を基準にして考えていました。
あとの２つの定義では、裏が出る回数を基準にして考えます。
つまり次のような定義になります。
３番目の定義：r回裏が出るまでの試行回数xの確率分布
４番目の定義：r回裏が出るまでに表が出る回数kの確率分布
１＆２番目の定義から想像が付くように、x－rの確率とkの確率は同じになります。
それでは、４つの定義を更に論理的に整理しておきましょう。
試行回数x、表が出る回数k、裏が出る回数rの間には
x＝k＋r
の関係がありますね。
つまり、３つの変数がありますが、そのうち２つが決まれば残りの１つは自動的に決まります。
これを数学では、自由度が２と言います。
実質的な変数は２つということです。
４つの定義は、これら２つの変数のうち１つを固定して、もう１つの変数の確率分布を求めていることになります。
すなわち、
定義１：kを固定してxの確率分布を求める
定義２：kを固定してrの確率分布を求める
定義３：rを固定してxの確率分布を求める
定義４：rを固定してkの確率分布を求める
です。
負の二項分布の４通りの定義式を導出する
以上が負の二項分布に４つの定義があることの説明でした。
それでは、それぞれの定義式を導出していきましょう。
導出は二項分布の式を理解していることが前提になりますので、自信のない方はまずこちらを読んでみて下さい。
二項分布の公式の意味とExcelでグラフを描く２通りの方法を実演
定義１：k回表が出るまでの試行回数xの確率分布
x－1回目の試行までにk－1回表が出ていて（裏はx-1-(k-1)回）、x回目の試行で表が出るので、
定義２：k回表が出るまでに裏が出る回数rの確率分布
k＋r－1回目の試行までにr回裏が出ていて（表はk-1回）、x回目の試行で表が出るので、
定義３：r回裏が出るまでの試行回数xの確率分布
x－1回目の試行までにr－1回裏が出ていて（表はx-r回）、x回目の試行で裏が出るので、
定義４：r回裏が出るまでに表が出る回数kの確率分布
k＋r－1回目の試行までにr－1回裏が出ていて（表はk回）、x回目の試行で裏が出るので、
Excelで負の二項分布のグラフを描く
次に、これらの定義式を使ってExcelでグラフに描いてみましょう。
普通のコインでは面白くないので、表が６０％の確率で出易いように細工をしたイカサマコインを想定します。
定義１：５回表が出るまでの試行回数xの確率分布
定義式でp=0.6、k=5に固定し、xだけの関数にします。
定義２：５回表が出るまでに裏が出る回数rの確率分布
定義式でp=0.6、k=5に固定し、rだけの関数にします。
定義３：５回裏が出るまでの試行回数xの確率分布
定義式でp=0.6、r=5に固定し、xだけの関数にします。
定義４：r回裏が出るまでに表が出る回数kの確率分布
定義式でp=0.6、r=5に固定し、kだけの関数にします。
定義１のグラフと定義２のグラフを見比べてみて下さい。
定義１のグラフを左へ５目盛だけ平行移動すると、定義２のグラフになることが確認できます。
同様に、定義３のグラフを左へ５目盛だけ平行移動すると、定義４のグラフになることが確認できます。
これら４種類の負の二項分布の具体例については、こちらで解説しています。
【４通りの負の二項分布の使い方】具体例でわかりやすく解説します。