【バックスクリーン３連発】ポアソン分布で伝説が生まれた確率を計算してみた
滅多に起こらない事象はポアソン分布に従う
ポアソン分布は滅多に起こらない事象の確率分布を表します。
例えば下の図は今年都内で発生した交通事故死者数の月別データですが、毎月平均１０人の方が亡くなっていることが分かります。
東京都内の交通人身事故発生状況｜警視庁 より抜粋
では、毎日の死者数はどんな確率分布になるでしょうか？
１人のこともあれば０人のこともあるでしょう。
中には２人の日もあるかもしれません。
ポアソン分布によって、それぞれの人数になる確率を計算できます。
これは、結構凄いことですね。
１日当たりの交通事故死者数であろうと、コールセンターに30分当たりにかかってくるコール数であろうと、売れ行きの悪い商品の１日当たりの販売数であろうと、事象に拘わらず同じ式で計算できるのですから。
売れ行きの悪い商品の販売数予測にポアソン分布を適用する事例については、こちらのサイトを参照下さい。
伝説のバックスクリーン３連発もポアソン分布に従うかを検証する
今回は更に全く関係のない事象にポアソン分布を適用してみます。
１９８５年の阪神タイガース優勝、阪神ファンなら生まれていなくても知っているでしょう。
このシーズン、チーム本塁打数は２１９本でした。
２０２１年の最多チーム本塁打数は巨人の１６９本でしたが、これは１４３試合の結果です。
１９８５年は１３０試合でこの数ですから、１４３試合に換算すると２４０本以上打ったことになります。
中でも４月１７日に巨人槇原から放ったバックスクリーン３連発は、伝説として今も語り継がれています。
今回は、この伝説が生まれた確率をポアソン分布を使って計算してみます。
やり方としては、２段階で行います。
まず、ホームランが出る確率分布がポアソン分布に従うのかどうかを検証します。
検証後、そのやり方を応用してバックスクリーン３連発が起こる確率を計算します。
１試合当たりのホームラン数はポアソン分布に従うか？
１試合当たりのホームラン数を集計する
この年、阪神は２１９本塁打を放ちましたが、１番真弓３４本、３番バース５４本、４番掛布４０本、５番岡田３５本の４人で１６３本を放ちました。
そこで、この４人の毎試合におけるホームラン数を調べ、その確率分布をポアソン分布で近似できるかどうかを調べてみました。
データソースは下記のサイトを参照させていただきました。
まず、このデータを元に、毎試合の４人のホームラン数を調べました。
（真弓が開幕８試合中、６試合でホームランを打っていたのには驚きました）
これを元に１試合で放ったホームラン数ごとの出現回数を数えると、次のようになります。
更に出現回数を比率で表すと、次のようになります。
これをグラフにするとこうなります。
ポアソン分布に当てはめる
次に、これらの分布をポアソン分布で再現できるかどうかを調べたいわけです。
ポアソン分布の公式は下記の通りでした。
ある期間にλ（ラムダ）回起こる事象がある時、同じ期間にx回起きる確率の分布をポアソン分布と言い、次式で表されます。
f(x) = λx e–λ / x!
そこで、まずは４人のλを計算してみましょう。
１試合で放ったホームラン数をλとします。
真弓：３４÷１３０＝０.２６
バース：５４÷１３０＝０.４２
掛布：４０÷１３０＝０.３１
岡田：３５÷１３０＝０.２７
合計：１６３÷１３０＝１.２５
あとは、知りたいホームラン数をxに代入すれば、１試合でそのホームラン数を放つ確率が計算できます。
Excelで次のように計算できます。
実績とポアソン分布は一致する
先ほどの実績と比べるために、並べて比較してみましょう。
ほぼ一致していますね。
特に４人の合計で比べると、１ポイント以内の誤差しかありません。
ホームラン数はポアソン分布に従うことが分かりました。
バックスクリーン３連発が起こる確率
１試合に３人が揃ってホームランを打つ確率
それではバックスクリーン３連発の確率を求める前に、まず１試合でバース、掛布、岡田が揃ってホームランを打つ確率を求めてみましょう。
先ほどの結果から、各打者が１試合で１本以上のホームランを打つ確率はバース：３４％、掛布：２６％、岡田：２４％です。
１試合に３人が揃ってホームランを打つ確率はこれらの同時確率ですので、
３４％×２６％×２４％⋍２.１％
です。
実際、この年３人が揃ってホームランを放ったのは、もう１試合ありました。
３者連続ホームランが出る確率
しかし、これだとバースが１打席目、掛布が２打席目、岡田が３打席目でホームランを放つのも含まれてしまいますので、期間を変えます。
どういうことかと言うと、こういうことです。
ポアソン分布では「ある期間に起こる平均回数」をλとして、これを分布の形状を決める唯一のパラメータとします。
今までは「ある期間」を１試合としていましたが、１打席とします。
こうすることにより、同じ打席で同時にホームランを放つ確率を求めることができます。
この年の各打者の打席数は、ウィキペディアに載っていた各年成績の「打数」を参照しました。
バース：４９７打席
掛布：４７６打席
岡田：４５９打席
その結果、例えばバースが１打席でホームランを打つ確率は、
５４÷４９７＝１１％
になります。
これをλとしてポアソン分布に当てはめて計算してみると、次のようになります。
よって、バックスクリーン３連発が起こる確率は、
９.７５％×７.７３％×７.０７％＝０.０５％
と計算できました。
考察
意外と高い確率ですね。
約２,０００打席待てば１回起こる確率です。
年間約５００打席なので、４年に１度くらいは起きる確率です。
現に６年前の１９７９年にも起こっています。（掛布－スタントン－ラインバック）
ただ、これはこの年のバース－掛布－岡田くらい打てばの話しです。
実際はこんなに強力なクリーンアップが揃うこと自体が奇跡ですので、滅多に起こることではありません。
現実には2011年5月3日の鳥谷－新井－ブラゼルによる「26年ぶりのクリーンアップ3連発」まで待たねばなりませんでした。
（クリーンアップ以外の３連発は除く）
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