累乗と累乗根と対数の密接な関係を具体例を使ってわかりやすく解説

2021年4月20日2024年5月19日

累乗と累乗根と対数には密接な関係がある

1. 年10%の成長率で10年後には何倍になるでしょうか？
2. 10年間で2倍になるには年何%の成長率が必要でしょうか？
3. 年10%の成長率で2倍になるには何年必要でしょうか？

 

これらは成長率、年数、倍数のうちの２つがわかっている場合に、残りの１つを求める問題です。

そして１は累乗、２は累乗根、３は対数で計算することができます。

ですので、累乗と累乗根と対数には密接な関係があります。

以下、具体例で一つずつ見ていきましょう。

 

成長率と年数から倍数を求めるのは累乗

まず累乗から説明します。

累乗（るいじょう）とは

２×２＝２^２

８×８×８＝８^３

のように同じ数を掛け合わせたものです。

肩に小さく乗っている数字を指数と呼びます。

 

物流の世界では予算を作成する時に、予測物量を基にそれに単価をかけて売上高を計算したりしますね。

その予測物量の計算に累乗をよく使います。

下の図は1年目の物量が1,000で、2年目から5年目にかけて年率5%で増える場合の計算です。

ここで各年の物量は次のように計算されます。

 

2年目：1,000×1.05

3年目：1,000×1.05²

4年目：1,000×1.05³

5年目：1,000×1.05⁴

 

つまり、成長率と年数がわかっている時に何倍になるかを求めるのが累乗です。

エクセルでは「^」を使って、5年目の計算は「=1000*1.05^4」のように入力します。

 

年数と倍数から成長率を求めるのは累乗根

次に累乗根です。

２の３乗は８（2³=8）ですが、この３を指数と呼びましたね。

そして、２を累乗根と呼びます。

 

物流の世界に限らず、ビジネスの世界では累乗根を求める場面が少なくありません。

例えば、売上高を５年間で２倍にするには年何％の成長率が必要かを求める場面です。

1.1⁵=1.61

1.2⁵=2.49

ですから、10%成長では足りませんが、20%成長では大きすぎます。

X⁵=2

となるような累乗根Xを求めたいわけです。

 

これを求める数式は

のように2通りの書き方があります。

２の１／５乗なら先ほど説明した「^」を使ってエクセルで計算できそうですね。

実際これで計算できて、

=2^(1/5)

のように指数を分数で入力することによって、1.1487という値が計算されます。

つまり年率14.87%で成長すれば、5年で2倍になるのです。

 

成長率と倍数から年数を求めるのは対数

対数とは２の３乗は８（2³=8）において、３のことです。

「それは指数じゃないのか？」

と思われた人もいると思いますが、そうです、同じです。

 

この対数もビジネスの世界では良く使います。

例えば、成長率が年率10%の場合、売上が2倍になるのは何年後かというのを知りたい時です。

1.1^x=2

におけるxを知りたいのです。

このｘを求める数式は

x=log_1.1 2

という書き方をします。

そしてエクセルでこれを求めたい場合にはLOG関数を使って

=LOG(2,1.1)

のように入力すれば7.273という値が計算されます。

つまり、7.273年後に売上が2倍になることがわかります。

 

まとめ

累乗は成長率aと年数bが分かっている時に、年数後の倍率cを求めます。

累乗根は年数bと倍率cが分かっている時に、成長率aを求めます。

対数は倍率cと成長率aが分かっている場合に、年数bを求めます。

 

エクセルでは次のように計算します。

 

対数の使い方については、こちらでも解説しています。

【対数の使い方】パレートの法則が成り立つ時は対数でデータ分析がお薦め