【カイ二乗分布をわかりやすく】使い方とExcelでのグラフの描き方
正規分布、二項分布、ポアソン分布、、、
いずれも有名な確率分布です。
でも、カイ二乗分布？
なんだかマニアックそうな名前ですね。
でもウィキペディアのカイ二乗分布には、「推計統計学で最も広く利用されるもの」と書かれているくらい、重要な確率分布です。
そこで、この確率分布が身近に感じられるように、徹底的に解剖してみました。
カイ二乗分布は確率的な揺らぎの範囲を示す
平均がゼロ、標準偏差（σと呼ばれる）が１である正規分布のことを標準正規分布といいます。
この標準正規分布からn個のサンプルを取り出して、それぞれをZ1、Z2、・・・、Znとすると、それらの平方和W
W = Z12 + Z22 +・・・+ Zn2
が従う確率分布のことを自由度nのカイ二乗分布といいます。
考え方自体は難しくありませんね。
標準正規分布からサンプリングしてくるのですから、Z1、Z2、・・・、Znは小さな数ばかりです。
どのくらい小さな数かというと、±１の範囲にある値である確率が６８％、±２の範囲にある値である確率が９６％です。
一つひとつのデータをグラフにすると次のようになります。
しかもこれらの数字は平均はゼロだけれども、確率的に微小幅±αで揺らいでいるものばかりです。
ですから、これらの数字を理想からの確率的な揺らぎだとみなせば、平方和を計算するということは、理想からの確率的な揺らぎを足し合わせたものだと考えられます。
ここで大事なのは、確率的な揺らぎとは、正常でもこのくらいは揺らぐということです。
ですので、Z1、Z2、・・・、Znを理想からのズレだと考えれば、ズレが正常でも平方和Wくらいの値にはなりますよということです。
言いかえれば、理想からのズレを二乗して足し合わせた値（平方和）がWより小さければそのズレは正常、大きければそのズレは異常だという物差しになります。
異常を判断する物差しになるカイ二乗分布
平方和Wはズレが正常か異常かを判断する物差しになるといいましたが、Wはサンプルの値Z1、Z2、・・・、Znによって変動します。
そこで変動幅の上限を調べておきます。
その上限を物差しに使えば良いのです。
通常、９５％のデータが入る区間を正常区間とします。
標準偏差σを使うと、平均±２σの区間がそれに相当します。
それでは、Z1、Z2、・・・、Znがすべて平均±2σ（±２）だった場合の平方和Wはいくつになるでしょうか？
この場合、Z12 、 Z22 、・・・、 Zn2はすべて４（２の二乗）以下になるはずです。
すると、平方和
W = Z12 + Z22 +・・・+ Zn2
は４×ｎよりかなり小さい値になることが予想できます。
なぜ「かなり」小さい数になるのかは、こんなアナロジーで考えると良くわかります。
あるマラソン大会では、直近１年間のフルマラソンの自己最高タイムが２時間半以内の人は招待選手として迎えられるとします。
そして１０人が条件を満たして招待選手になりました。
その１０人の平均タイムはどれくらいになるでしょうか？
２時間半ということはないでしょう。
なぜなら、１０人の中にはギリギリ２時間半のタイムの人もいれば、２時間ジャストという超エリートランナーも含まれているかもしれないからです。
そのため、もしかすると平均タイムは２時間１５分くらいかもしれません。
このように、１０個のデータ（ｎ＝１０）があって個々のデータが４以下であれば、その合計は４０（４×１０）より「かなり」小さい数になることが想像できると思います。
例えばｎ＝５の場合のカイ二乗分布は次のような曲線になります。
９５％のデータが含まれる点を調べると１１になります。
つまり個々のデータが９５％の確率で４以下であれば、それら５個を合計した数が９５％の確率で含まれる範囲は０～２０ではなく、もっと「かなり」狭い０～１１になるのです。
この自明でない結果をまとめた関数がカイ二乗分布表です。
ちなみに９５％のデータが含まれる点を「上側５％点」といいます。
カイ二乗分布表には、この他にも上側２.５%点や上側１％点等も含まれています。
自由度m α 0.99 0.975 0.95 0.05 0.025 0.01 より抜粋＆加筆
このようにカイ二乗分布表は自由度と上側ｘ％点のマトリクスになっています。
交点を検索することにより、それが正常か異常かを判断する平方和Wの値がわかります。
Excelでカイ二乗分布のグラフを描いてみる
さっきのグラフは標準正規分布から５個のデータをサンプリングしてきた場合のカイ二乗分布でしたが、何個のデータをサンプリングするかによって分布の形は一意に決まります。
例えば１０個サンプリングした場合のグラフは次のようになります。
このように一意に決まります。
ちなみに、このグラフの元データはExcelにあるカイ二乗分布を求める関数を使うことで簡単に作れます。
カイ二乗分布の確率密度＝CHISQ.DIST（確率変数、自由度、FALSE）
この表を折れ線グラフにすれば、先ほどの自由度１０のカイ二乗分布のグラフが描けます。
カイ二乗分布のグラフをExcelの乱数シミュレーションで再現する
このようにカイ二乗分布は自由度が決まれば一意に決まり、グラフもExcel関数を使えば簡単に描けるのですが、本当にこのようなグラフになるのでしょうか？
それを実際に実験してみましょう。
そのためには、実際に標準正規分布に従う乱数をいくつか生成して、それらの平方和（二乗したあと合計する）を計算してみればわかります。
次のように１０個の乱数を発生させ、それらの平方和を計算することを、２０回繰り返します。
標準正規分布乱数の作り方はこちらを参照下さい↓
このようにして１０個の標準正規分布乱数の平方和が２０個できあがります。
あとは、これをヒストグラムにするだけです。
ヒストグラムの作り方はこちらを参照下さい↓
このようなヒストグラムになります。
次に、これがカイ二乗分布とどれくらい一致しているかを調べるために、先のヒストグラムに自由度１０のカイ二乗分布のグラフを重ね合わせてみましょう。
こうなります。
このように概ね一致しました。
シミュレーション回数を増やせば、もっと合致度は上がるでしょう。
まとめ
・カイ二乗分布は確率的な揺らぎの平方和
・カイ二乗分布は、ズレが単なる確率的な揺らぎによるものなのか、意味のある異常なのかを判断する物差しになる
・カイ二乗分布表を見れば、正常か異常かを判断する平方和Wがわかる
・カイ二乗分布の形は自由度により一意に決まる
・カイ二乗分布の形は標準正規分布乱数を使ったシミュレーションで再現できる
カイ二乗分布の具体的な使い方はこちら↓