【幾何分布】具体例でわかりやすく解説します。|遅刻魔への応用事例で実演

2021年7月29日

物流センターの出勤記録によると、契約社員のAさんは5日に1回の割合で遅刻します。

Aさんが6日連続で遅刻しない確率は何%でしょうか?

 

二項分布の復習

結果が2つに1つしかない場合に、その試行をn回行って成功する回数の確率分布が二項分布でした。

>> 二項分布のグラフの作り方

 

例えばコインを5回投げて全部裏が出る確率は、

5C0×0.50×(1-0.5)(5-0) = 0.03

 

1回だけ表が出る確率は、

5C1×0.51×(1-0.5)(5-1) = 0.16

 

同様に2~5回表が出る確率は、

5C2×0.52×(1-0.5)(5-2) = 0.31

5C3×0.53×(1-0.5)(5-3) = 0.31

5C4×0.54×(1-0.5)(5-4) = 0.16

5C5×0.55×(1-0.5)(5-5) = 0.03

となり、グラフにするとこうなります。

このような確率分布を二項分布と言いました。

 

幾何分布とは

幾何分布も、2つに1つの試行を対象にしているのは同じです。

違うのは、初めて表が出る(成功する)回数の確率分布だということです。

 

コイン投げで1回目で表が出る確率は0.5ですね。

ですので、1回目で初めて表が出る確率は0.5です。

 

では2回目で初めて表が出る確率はいくつでしょうか?

1回目は裏で、2回目で表が出ないといけないので、

(裏が出る確率)×(表が出る確率)=0.5×0.5=0.25

です。

 

同様に3回目で初めて表が出るには、1回目と2回目は裏が出ないといけないので、

(裏が出る確率)×(裏が出る確率)×(表が出る確率)=0.5×0.5×0.5=0.125

です。

 

これを一般化してみましょう。

成功する確率をpとします。

コイン投げの場合、表を成功とすれば、成功する確率は0.5です。

すると失敗する確率は1-pです。

k回目で初めて成功するということは、その前のk-1回はすべて失敗ですので、その確率は

p(1-p)(k-1)

です。

これが幾何分布の式になります。

 

幾何分布のグラフ

幾何分布の関数はエクセルでは用意されていませんが、下記のように簡単に計算できます。

 

これをグラフにすると次のようになります。

 

6日連続無遅刻の確率は?

これを利用して冒頭の例を考えてみましょう。

Aさんは5日に1回の割合で遅刻しますので、確率20%です。

先ほどと同様にエクセルで計算すると次のようになります。

 

6日連続で遅刻しないということは、初めて遅刻するのが早くて7日目ということです。

上の表で赤で囲んだ所より下では、6日以上は遅刻しないということですから、6日連続で遅刻しない確率は21%(100%-79%)ということになります。

 

意外と高いと思いませんか?

ちなみに14日連続で遅刻しない確率も4%あります。

5回に1回遅刻するような人でも、半月くらいなら意外と皆勤賞になる可能性もあるのです。