【区間推定の具体例】トラックに付いているタイヤの摩耗を区間推定する
区間推定とは？
サンプルデータから母集団の平均値を知ろうとすることを推定と言います。
推定には点推定と区間推定の2種類があります。
自社トラックに付いている1,000本のタイヤについて、1か月間のタイヤの擦り減り度合の平均を知りたいとします。
そのためには、ある特定の日に1,000本全部のタイヤの溝深さを測り、ちょうど1か月後にも再度同じすることをする必要があります。
しかし、毎日運航しているトラックでそれを行うのは困難です。
このような時に、例えば20本について測定し、1,000本の平均を推定したいと思いませんか？
思いますね。
この場合、1,000本が母集団、20本がサンプルになります。
そして、20本の平均をそのまま1,000本の平均と推定することを、点推定といいます。
でも、たった20本の平均が全体を代表すると考えるのは、少し乱暴です。
そこで、「○○の確率で平均値はXからYの間に入る」という風に推定してもらえると有り難いですね。
このような推定を区間推定と言います。
今回は、この区間推定のやり方を紹介します。
【具体例】20本のタイヤから1,000本の摩耗を区間推定する
20本のタイヤについて、7月31日と8月31日に溝深さを測定したところ、次のようになりました。
サンプル20本のタイヤの1か月の摩耗の平均値は1.08mmです。
母集団1,000本の摩耗の平均は1.08mm±○○mmになっていると考えられますので、この○○をこれから計算します。
また信頼区間は95%とします。
つまり、95%の確率で平均は1.08mm±○○mmになるという○○を求めるのです。
ばらつきをt分布で近似する
さて、今回はサンプルサイズが小さいので、サンプルの平均はｔ分布に従います。
もっと詳しく言うと、平均μ、分散s2/n（標準偏差s/√n）のt分布で近似されます。
ということは、サンプルの平均は下記のグラフにおいて、赤線の枠内にあるということになります。
有意確率（p値）からt値を求める
この図の中の○○は、t分布表から次のようにして求まります。
サンプルサイズは20ですので自由度は19です。
また95%の信頼区間ということは、両側5%を切る部分ですので、有意確率（p値）は0.05になります。
両者の交点を見ると2.09ですので、○○は2.09になります。
平均値からt値の±2.09倍ばらつくことを式にする
これを式で書くと次のようになります。
μ- 2.09 s / √n ≦ 1.08 ≦ μ+ 2.09 s / √n
s = 0.27、n = 20なので
μ- 2.09 x 0.27 / √20 ≦ 1.08 ≦ μ+ 2.09 x 0.27 / √20
μが真ん中にくるよう式変形する
μが真ん中に来るように変形すると、
1.08 – 2.09 x 0.27 / √20 ≦ μ ≦ 1.08 + 2.09 x 0.27 / √20
となります。
よって、母集団の平均μの95%信頼区間は次のようになります。
0.95 ≦ μ ≦ 1.21
これが1,000本のタイヤの摩耗度合いの推定値です。
区間推定はベイズ推定でやっても同じ結果が得られます。
区間推定について更に学習したい人はこちらもどうぞ。